Matematikte içinde toplama, çıkarma, çarpma, bölme yapılan cebirsel yapıya cisim diyoruz. Yaşamımız kesir sayılar cisminin içinde hesaplar yaparak geçiyor, kendimizi gerçel sayılar cisminin içinde düşünüyor, fizikte pek çok şeyi çözmek için karmaşık sayılar cisminde çalışıyoruz. Bilgisayarlarımız ve elektronik aygıtlarımız ikili düzene, iki elemanlı cisme dayanıyor. Bu cihazlar, bilgiyi kodlarken, sonlu cisimler üzerinde geliştirilmiş çeşitli düşünceleri kullanılıyorlar.
Çıkarma, aslında toplamanın ters işlemi; bölme de çarpmanın… Her ikisini yapabilmek için de birer birim elemana ihtiyacımız var. Toplamanın birim elemanına sıfır, çarpmanın birim elemanına ise bir diyoruz. Öte yandan, sıfır çarpmaya göre yutan eleman. Yani, sıfırla hangi sayıyı çarparsanız çarpın, sonuç sıfır. Dolayısıyla, sıfır’ın çarpmaya göre tersi yok. Bir cisimde çarpmaya göre tersi olmayan yegane eleman sıfırdır.
Bir elemanlı cisim var mı?
Buna verebileceğiniz çeşitli yanıtlar şunlar olabilir:
- Olur, yalnızca sıfırdan oluşan kümeyi düşünelim diyebilirsiniz. Ama olmaz. Sıfır dışında kalan elemanların çarpmaya göre bir grup oluşturması gerekli, o grubun da bir birim olması gerekli. O yüzden sıfır dışında elemanlar olmalı!
- Madem öyle, yalnızca birden oluşan kümeyi düşünelim, bir hem çarpmaya göre, hem toplamaya göre birim eleman olsun diyebilirsiniz. Bu durumda, “bir eşittir sıfır” demiş oldunuz. Böylece bir’iniz hem çarpmaya göre birim eleman olacak, hem de yutan eleman olacak. Olmaz!
Tabii ki, olmaz, sonlu sayıda elemanı olan her cismin eleman sayısı, bir asal sayının kuvveti olmak zorundadır diyebilirsiniz ve haklı olursunuz. Sahiden de bir elemanlı cisim olmaz. Öte yandan varolsaydı, pek çok şey daha güzel, daha anlamlı olurdu. Niye böyle birşeyin var olmasını isteyeceğimizi bir örnekle anlatmaya çalışayım.
Polinomlarla tamsayılar birbirlerine çok benzerler. Verilen bir değişkendeki polinomlar, toplama, çıkarma ve çarpma yapabildiğiniz bir küme oluştururlar. Bir polinom, aynı tamsayılarda olduğu gibi, asal çarpanlarına ayrılır. Tamsayılardaki bölme gibi, verilen bir polinomu başka bir polinoma bölüp, kalanı bulabilirsiniz; bu işlemi nasıl yapacağınızı gösteren bölme algoritması, ilkokulun ilk sınıflarında öğrendiğimiz bölme algoritmasının aynısıdır.
Öte yandan, polinomların türevini alabiliriz, ama tamsayıların türevini alamayız. Halbuki türevlerini alabiliyor olmak, bize polinomlar hakkında bir sürü bilgi verir. Eğer tamsayıların da türevini alabilsek, polinomlar için geliştirdiğimiz pek çok fikri ve tekniği tamsayılara da uygulayabilirdik. Eğer bir elemanlı bir cismimiz olsa, tamsayıların türevini alabilirdik.
Bir elemanlı cismi istememizin bir nedeni bu. Bir elemanlı cismi aramamızın pek çok farklı nedeni var. Bir elemanlı cisim, bizim yerleşik tanımlarımızdaki cisimlerden olmayacak. Bu tanımları da kapsayan yeni nesneler kurmamız gerekecek. Bu konuda da bugüne kadar yapılmış pek çok çalışma var.
Benim yukarıdaki kısa açıklamam doyurucu olmaktan uzak. Farklı bir açıdan, bir elemanlı cismi ve projektif geometriyi konu alan şu ödül almış yazıyı okumanızı öneririm:
http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2872
http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Cohn487-495.pdf
Ah Bir Konik Olsam... 